Paghahanap ng Limitasyon ng isang Mahalaga: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Ipagpalagay na ang $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ ay tuluy-tuloy. Tukuyin kung umiiral ang sumusunod na limitasyon

$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Tulad ng $ f (x) $ at $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ ay tuluy-tuloy, kaya ang kanilang produkto ay Riemann integrable. Gayunpaman $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ ay hindi umiiral, kaya hindi ito pantay na tagpo at hindi natin maipasa ang limitasyon sa loob ng integral. Hindi rin ito nasisiyahan sa mga kondisyon ng Dini Theorem. Hindi ko alam kung paano gumawa ng wastong argumento para sa problemang ito, ngunit sa palagay ko sa kung ano ang sinabi ko ang limitasyon ay hindi umiiral. Pinahahalagahan ko ang anumang tulong.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Tandaan na ang $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Salamat, tingin ko, maaari kong makumpleto ito ngayon
Teepeemm 07/31/2017
Na tila mas advanced kaysa sa problema ay ang pagtawag para sa.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Ang isang bahagyang iba't ibang paraan ng paglutas nito ay ang paggamit ng sumusunod na pagmamasid.

Proposition. Kung ang $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ ay patuloy, ang $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ ay tuluy-tuloy at $ L $ -periodic,

$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Sa pagpapalagay sa pahayag na ito, agad na sumasagot ang sagot mula noong $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ ay $ 2 \ pi $ -periodic at

    $ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Malinaw ang intuwisyon: Kung ang $ n $ ay napakalaking, pagkatapos ay sa subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $ kami ay may

    $ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Kaya hindi pinapansin ang mga detalye, magkakaroon tayo

    $ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right)

    at pagkuha ng limitasyon bilang $ n \ to \ infty $, ang kanang bahagi ay nagtatagpo sa nais na halaga. Ang pagpuno sa mga detalye ay karaniwang gawain.

  3. Ang palagay sa pagpapatuloy ay isang teknikal na setting para sa simpleng patunay, at maaari mong i-relaks ang mga ito sa ilang mga degree sa pamamagitan ng pagbabayad ng mas maraming pagsisikap.


Michael Hartley 07/31/2017.

Hindi ka maaaring magtapos $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ ay hindi umiiral dahil lang sa $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $ $ ay hindi. Halimbawa, ang $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ ay hindi umiiral, ngunit $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ dahil ang integral ay zero para sa lahat ng $ n $.

Natatakot ako na ang aking pagiging kapaki-pakinabang ay tumatakbo sa puntong ito, kahit na sa tingin ko ang limitasyon ay umiiral: dapat mo, kung wala pa, makakahanap ng ilang argumento ng epsilon-delta na nagpapahayag ng integral bilang kabuuan ng isang grupo ng mga integral sa mga agwat ng haba $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Ito ay maaaring isang masamang paraan upang matugunan ang problema.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags