Paghahanap ng Limitasyon ng isang Mahalaga: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Ipagpalagay na ang $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ ay tuluy-tuloy. Tukuyin kung umiiral ang sumusunod na limitasyon

$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Tulad ng $ f (x) $ at $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ ay tuluy-tuloy, kaya ang kanilang produkto ay Riemann integrable. Gayunpaman $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ ay hindi umiiral, kaya hindi ito pantay na tagpo at hindi natin maipasa ang limitasyon sa loob ng integral. Hindi rin ito nasisiyahan sa mga kondisyon ng Dini Theorem. Hindi ko alam kung paano gumawa ng wastong argumento para sa problemang ito, ngunit sa palagay ko sa kung ano ang sinabi ko ang limitasyon ay hindi umiiral. Pinahahalagahan ko ang anumang tulong.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Tandaan na ang $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Salamat, tingin ko, maaari kong makumpleto ito ngayon
Teepeemm 07/31/2017
Na tila mas advanced kaysa sa problema ay ang pagtawag para sa.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Ang isang bahagyang iba't ibang paraan ng paglutas nito ay ang paggamit ng sumusunod na pagmamasid.

Proposition. Kung ang $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ ay patuloy, ang $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ ay tuluy-tuloy at $ L $ -periodic,

$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Sa pagpapalagay sa pahayag na ito, agad na sumasagot ang sagot mula noong $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ ay $ 2 \ pi $ -periodic at

    $ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Malinaw ang intuwisyon: Kung ang $ n $ ay napakalaking, pagkatapos ay sa subinterval $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $ kami ay may

    $ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Kaya hindi pinapansin ang mga detalye, magkakaroon tayo

    $ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right)

    at pagkuha ng limitasyon bilang $ n \ to \ infty $, ang kanang bahagi ay nagtatagpo sa nais na halaga. Ang pagpuno sa mga detalye ay karaniwang gawain.

  3. Ang palagay sa pagpapatuloy ay isang teknikal na setting para sa simpleng patunay, at maaari mong i-relaks ang mga ito sa ilang mga degree sa pamamagitan ng pagbabayad ng mas maraming pagsisikap.


Michael Hartley 07/31/2017.

Hindi ka maaaring magtapos $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ ay hindi umiiral dahil lang sa $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $ $ ay hindi. Halimbawa, ang $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ ay hindi umiiral, ngunit $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ dahil ang integral ay zero para sa lahat ng $ n $.

Natatakot ako na ang aking pagiging kapaki-pakinabang ay tumatakbo sa puntong ito, kahit na sa tingin ko ang limitasyon ay umiiral: dapat mo, kung wala pa, makakahanap ng ilang argumento ng epsilon-delta na nagpapahayag ng integral bilang kabuuan ng isang grupo ng mga integral sa mga agwat ng haba $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Ito ay maaaring isang masamang paraan upang matugunan ang problema.


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
4 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
7 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
10 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
11 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
12 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
13 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
14 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
15 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
16 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
17 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
18 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
19 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
20 Erika Sirola

Speechless flac

Erika Sirola. 2018. Writer: Teemu Brunila;Stefan Dabruck;Jürgen Dohr;Guido Kramer;Dennis Bierbrodt;Chris Braide;Robin Schulz.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags