Ang mga function na laging mas mababa sa kanilang mga derivatibo

Mike Brown 09/11/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Ako ay nagtataka kung may mga function kung saan $$ f '(x)> f (x) $$ para sa lahat ng $ x $. Ang mga halimbawa lamang na maaari kong isipin ay $ e ^ x - c $ at simpleng $ - c $ kung saan $ c> 0 $. Gayundin, may anumang kabuluhan sa isang function na laging mas mababa sa derivative nito?


I-edit: Maraming salamat para sa lahat ng mga tugon. Tila halos lahat ng mga function na nalalapat ay eksponensyal sa pamamagitan ng likas na katangian ... Mayroon bang higit pang mga halimbawa tulad ng - 1 / x?

Muli ay may anumang mga application / pisikal na manifestations ng mga function? [halimbawa isang bagay na may bilis na laging mas malaki kaysa sa posisyon nito / acceleration ay laging mas malaki kaysa sa bilis nito]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Naka-off ang tuktok ng aking ulo, anumang bounded, monotonically pagtaas ng function sa ibaba kalahating-eroplano.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ang sagot ni Ixion ay nagbibigay sa buong, pinaka pangkalahatang solusyon (bagaman ang ilang partikular na pamilya ng mga solusyon ay maaaring masulat sa mga nicer form), at dapat tanggapin.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Ngunit mangyaring ayusin ang pamagat, palitan ang "nito" sa "kanilang". Ang paraan ng pamagat ay nakasulat, para sa isang sandali ito mukhang ikaw ay isinasaalang-alang derivatives ng lahat ng mga order. At ngayon ako ay kakaiba tungkol sa tanong na ito sa gilid, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Kung ang $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, maaari naming itakda ang $ f (x) = y' (x) -y (x) $ na positibo forall $ x $. Ipagpalagay na ang $ y '(x) $ ay tuluy-tuloy na function upang ang $ f (x) $ ay tuluy-tuloy din. Ngayon sa elementong ito maaari naming buuin ang kaugalian equation $$ y '(x) = y (x) + f (x) $ $ at ang mga solusyon ay ibinibigay sa pamamagitan ng: $ $ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Muli ay may anumang mga application / pisikal na manifestations ng mga function? [halimbawa isang bagay na may bilis na laging mas malaki kaysa sa posisyon nito / acceleration ay laging mas malaki kaysa sa bilis nito]

Hindi ko alam kung mayroong application ng mga kagiliw-giliw na ari-arian na ito, ngunit sigurado ako na hindi mo maaaring ihambing ang bilis sa posisyon dahil sila ay hindi homogenous na mga dami.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Ipagpalagay na $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Kaya maaari mong i-on ang anumang function $ g $ kung saan $ g '(x)> 1 $ sa ganitong uri ng function sa pamamagitan ng pagkuha ng pagpaparami ng mga ito:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ nagpapahiwatig \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x) ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Ipinapalagay mo ang $ f (x)> 0 $ sa simula
2 MPW 07/28/2017
@ HagenvonEitzen: Pagkatapos ay maaari lamang niyang gamitin ang $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ bilang kanyang panimulang punto para sa anumang ibinigay na $ f $. Sa ganoong paraan ang isa ay laging may $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ang sagot ng Ixion ay nagbibigay ng ganap na generalisasyon sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ upang maging anumang function na saanman-positibo.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Hindi, ipinagpapalagay niya ang pagpapatuloy ng $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ako ay sigurado na ang kalagayan ay hindi talaga kailangan.

Peter 07/28/2017.

Ang isang simpleng halimbawa ay $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Ang isang mas kagiliw-giliw na problema ay upang makahanap ng isang function na $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, na ang imahe ay $ \ mathbb {R} $ at nagkakaloob $ f '(x)> f (x) $ para sa lahat ng $ x \ in \ mathbb {R} $. Ang isa sa mga function ay

$ \ sinh (x), $$

dahil

$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ para sa lahat ng $ x \ sa \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Sumakay $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Pagkatapos ay para sa $ \ alpha> 1 $ kami ay may $ f '(x)> f (x) $ at para sa $ \ alpha <1 $ mayroon kaming $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Paano ang tungkol sa kung titingnan mo ito bilang isang kaugalian equation. Sabihin

$ y '= y + 1 $

na may solusyon $ y = Ce ^ x -1 $

O $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

na may solusyon $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

O $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

na may solusyon $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ang sagot ng Ixion ay pangkalahatan na ito sa $ y '(x) = y (x) + f (x) $ para sa anumang $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - dapat ko bang tanggalin ang aking sagot?
Robin Saunders 07/30/2017
Hindi ko alam kung magkano ang tungkol sa etiketa ng Stack Exchange, ngunit ang aking hula ay dahil naunang isinulat mo ang iyong sagot at naglalaman ito ng mga tukoy na halimbawa na hindi sa iba pang sagot, dapat itong maging masarap na iwanan ito.

Eric Towers 07/30/2017.

Ang isang simpleng simpleng halimbawa ay $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. May kaugnayan sa iyong pag-edit: hindi ito pagpaparami sa lahat.

Iba pang mga halimbawa na hindi kaagad pagpaparami:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ ay sa lahat ng dako ay negatibo at sa lahat ng dako ay mahigpit na nagtaas ng monotonya, sa gayon ay kahit saan mas mababa kaysa sa nanggaling nito.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ ay din sa lahat ng dako negatibo at sa lahat ng dako mahigpit na monotonically pagtaas. (Ang mga ito ay katulad na katulad, dahil ang mga ito ay inilipat na mga kopya ng CDFs ng (karaniwang / normalized) Cauchy at Gaussian na pamamahagi.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ ang lower branch ng isang hyperbola na may $ x $ -axis at ang linya $ y = x $ bilang asymptotes. Ito ay sa lahat ng dako negatibo at sa lahat ng dako mahigpit na monotonically pagtaas.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Tingnan ang, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Higit sa pangkalahatan, ang anumang negatibong function na may positibong hinalaw ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Ang isa pang simpleng halimbawa ay $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Ang di-pagkakapantay-pantay na $$ f '(x)> f (x) $$ ay katumbas ng $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0.

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay gumawa ng anumang may iba't ibang function na $ g (x) $ sa $ g '(x)> 0 $ at ilagay ang $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Tandaan na walang ipinagpapalagay tungkol sa $ f $ maliban sa iba't ibang posibilidad, na kinakailangan upang tanungin ang tanong sa unang lugar.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Para sa anumang function na kaugalian $ f $ na kung saan ang parehong $ f (x) $ at $ f '(x) $ ay limitado sa mga may wakas na hanay, ang $ f' (x) - f (x) $ ay limitado rin sa isang limitadong hanay, kaya mayroong isang $ c $ kung saan ang $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Samakatuwid, ang isang function na $ g (x) = f (x) - c $ ay maaaring nabuo para sa kung saan $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ o $ g' )> g (x) \ \ forall \ x $.

Halimbawa, ito ay para sa maraming kaugalian na pana-panahong pag-andar.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Ang huling pahayag ay mali, yamang hindi lahat ng mga iba't ibang pare-parehong function ay bounded derivative.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Tama ka. Ako ay isinasaalang-alang ang mga pana-panahong pag-andar na naiiba sa bawat punto sa $ \ mathbb {R} $, ngunit napagtanto ko na ang isang function lamang ay dapat na differentiable sa lahat ng mga punto sa kanyang domain upang maituring na differentiable. Na-update ko ang sagot ko.
Adayah 07/30/2017
Ang ibig sabihin ko, ang function na $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ ay maaaring pana-panahong at iba-iba sa bawat punto $ a \ in \ mathbb {R} $ at mayroon pa ring walang hangganan na derivative.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Mayroon ka bang anumang halimbawa ng naturang function?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Ibig sabihin ko, kung ang isang function na $ f $ ay naiiba sa lahat ng dako, ang mga kinopyang $ f '$ ay dapat na umiiral sa lahat ng dako, at ang $ f' $ ay dapat na tuloy-tuloy (dahil kung naglalaman ito ng anumang diskontinuidad, ang $ f '$ ay hindi maaaring umiiral sa puntong iyon ). Na ito ay imposible para sa $ f '$ upang maging walang hanggan, tama?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike isang sagot sa iyong karagdagang tanong "Mayroon bang mga pisikal na halimbawa ng mga ito?" ay pinagana ng dromastyx.

Ang kanyang halimbawa ay nagpapakita ng mga hayperbiko function na ilarawan tumpak ang pisikal na kababalaghan ng 'solitons'.

Ang mga soliton ay nag-iisa na alon tulad ng sun flares, Tsunamis atbp. Halimbawa ng paghahanap ng mga naturang alon na nakatago sa mga kilalang equation ay:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 The Chainsmokers

Beach House flac

The Chainsmokers. 2018. Writer: Andrew Taggart.
2 (G)I-DLE

POP/STARS flac

(G)I-DLE. 2018. Writer: Riot Music Team;Harloe.
3 Ariana Grande

​Thank U, Next flac

Ariana Grande. 2018. Writer: Crazy Mike;Scootie;Victoria Monét;Tayla Parx;TBHits;Ariana Grande.
4 Anne-Marie

Rewrite The Stars flac

Anne-Marie. 2018. Writer: Benj Pasek;Justin Paul.
5 Clean Bandit

Baby flac

Clean Bandit. 2018. Writer: Jack Patterson;Kamille;Jason Evigan;Matthew Knott;Marina;Luis Fonsi.
6 Nicki Minaj

No Candle No Light flac

Nicki Minaj. 2018. Writer: Denisia “Blu June” Andrews;Kathryn Ostenberg;Brittany "Chi" Coney;Brian Lee;TJ Routon;Tushar Apte;ZAYN;Nicki Minaj.
7 BlackPink

Kiss And Make Up flac

BlackPink. 2018. Writer: Soke;Kny Factory;Billboard;Chelcee Grimes;Teddy Park;Marc Vincent;Dua Lipa.
8 Imagine Dragons

Bad Liar flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Jorgen Odegard;Daniel Platzman;Ben McKee;Wayne Sermon;Aja Volkman;Dan Reynolds.
9 BTS

Waste It On Me flac

BTS. 2018. Writer: Steve Aoki;Jeff Halavacs;Ryan Ogren;Michael Gazzo;Nate Cyphert;Sean Foreman;RM.
10 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
11 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
12 Brooks

Limbo flac

Brooks. 2018.
13 Fitz And The Tantrums

HandClap flac

Fitz And The Tantrums. 2017. Writer: Fitz And The Tantrums;Eric Frederic;Sam Hollander.
14 Backstreet Boys

Chances flac

Backstreet Boys. 2018.
15 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
16 Diplo

Close To Me flac

Diplo. 2018. Writer: Ellie Goulding;Savan Kotecha;Peter Svensson;Ilya;Swae Lee;Diplo.
17 Rita Ora

Velvet Rope flac

Rita Ora. 2018.
18 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
19 Imagine Dragons

Machine flac

Imagine Dragons. 2018. Writer: Wayne Sermon;Daniel Platzman;Dan Reynolds;Ben McKee;Alex Da Kid.
20 Erika Sirola

Speechless flac

Erika Sirola. 2018. Writer: Teemu Brunila;Stefan Dabruck;Jürgen Dohr;Guido Kramer;Dennis Bierbrodt;Chris Braide;Robin Schulz.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags